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  skos:definition """En mathématiques, un <b>problème hyperbolique</b> ou <b>équation aux dérivées partielles hyperbolique</b> est une classe d'équations aux dérivées partielles (EDP) modélisant des phénomènes de propagation, émergeant par exemple naturellement en mécanique. Un archétype d'équation aux dérivées partielles hyperbolique est l'équation des ondes :  <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\\\\displaystyle {\\rac {\\\\partial ^{2}u}{\\\\partial t^{2}}}-c^{2}\\\\Delta u=0.\\\\,}">   <semantics>     <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">       <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">         <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">           <mfrac>             <mrow>               <msup>                 <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi>                 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">                   <mn>2</mn>                 </mrow>               </msup>               <mi>u</mi>             </mrow>             <mrow>               <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi>               <msup>                 <mi>t</mi>                 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">                   <mn>2</mn>                 </mrow>               </msup>             </mrow>           </mfrac>         </mrow>         <mo>−<!-- − --></mo>         <msup>           <mi>c</mi>           <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">             <mn>2</mn>           </mrow>         </msup>         <mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>         <mi>u</mi>         <mo>=</mo>         <mn>0.</mn>         <mspace width="thinmathspace"></mspace>       </mstyle>     </mrow>     <annotation encoding="application/x-tex">{\\\\displaystyle {\\rac {\\\\partial ^{2}u}{\\\\partial t^{2}}}-c^{2}\\\\Delta u=0.\\\\,}</annotation>   </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0351ad77e1c15d2707dd827c8dd89ec172e602b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:18.025ex; height:6.009ex;" alt="{\\\\displaystyle {\\rac {\\\\partial ^{2}u}{\\\\partial t^{2}}}-c^{2}\\\\Delta u=0.\\\\,}"></span></dd></dl> Les solutions des problèmes hyperboliques possèdent des propriétés ondulatoires. Si une perturbation localisée est faite sur la donnée initiale d'un problème hyperbolique, alors les points de l'espace éloignés du support de la perturbation ne ressentiront pas ses effets immédiatement. Relativement à un point espace-temps fixe, les perturbations ont une vitesse de propagation finie et se déplacent le long des caractéristiques de l'équation. Cette propriété permet de distinguer les problèmes hyperboliques des problèmes elliptiques ou paraboliques, où les perturbations des conditions initiales (ou de bord) auront des effets instantanés sur tous les points du domaine. Bien que la définition de l'hyperbolicité soit fondamentalement qualitative, il existe des critères précis qui dépendent de la famille d'équations aux dérivées partielles considérées.  
<br/>(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles_hyperbolique">https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles_hyperbolique</a>)"""@fr, """In mathematics, a <b>hyperbolic partial differential equation</b> of order <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\\\\displaystyle n}">   <semantics>     <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">       <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">         <mi>n</mi>       </mstyle>     </mrow>     <annotation encoding="application/x-tex">{\\\\displaystyle n}</annotation>   </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\\\\displaystyle n}"></span> is a partial differential equation (PDE) that, roughly speaking, has a well-posed initial value problem for the first <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\\\\displaystyle n-1}">   <semantics>     <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">       <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">         <mi>n</mi>         <mo>−<!-- − --></mo>         <mn>1</mn>       </mstyle>     </mrow>     <annotation encoding="application/x-tex">{\\\\displaystyle n-1}</annotation>   </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\\\\displaystyle n-1}"></span> derivatives. More precisely, the Cauchy problem can be locally solved for arbitrary initial data along any non-characteristic hypersurface.  Many of the equations of mechanics are hyperbolic, and so the study of hyperbolic equations is of substantial contemporary interest. The model hyperbolic equation is the wave equation.  In one spatial dimension, this is <div class="mwe-math-element"><div class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\\\\displaystyle {\\rac {\\\\partial ^{2}u}{\\\\partial t^{2}}}=c^{2}{\\rac {\\\\partial ^{2}u}{\\\\partial x^{2}}}}">   <semantics>     <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">       <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">         <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">           <mfrac>             <mrow>               <msup>                 <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi>                 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">                   <mn>2</mn>                 </mrow>               </msup>               <mi>u</mi>             </mrow>             <mrow>               <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi>               <msup>                 <mi>t</mi>                 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">                   <mn>2</mn>                 </mrow>               </msup>             </mrow>           </mfrac>         </mrow>         <mo>=</mo>         <msup>           <mi>c</mi>           <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">             <mn>2</mn>           </mrow>         </msup>         <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">           <mfrac>             <mrow>               <msup>                 <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi>                 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">                   <mn>2</mn>                 </mrow>               </msup>               <mi>u</mi>             </mrow>             <mrow>               <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi>               <msup>                 <mi>x</mi>                 <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">                   <mn>2</mn>                 </mrow>               </msup>             </mrow>           </mfrac>         </mrow>       </mstyle>     </mrow>     <annotation encoding="application/x-tex">{\\\\displaystyle {\\rac {\\\\partial ^{2}u}{\\\\partial t^{2}}}=c^{2}{\\rac {\\\\partial ^{2}u}{\\\\partial x^{2}}}}</annotation>   </semantics> </math></div><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7aca511d39d42ad87f2bfdb2a65103bed43ead4" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:14.286ex; height:6.009ex;" alt="{\\\\displaystyle {\\rac {\\\\partial ^{2}u}{\\\\partial t^{2}}}=c^{2}{\\rac {\\\\partial ^{2}u}{\\\\partial x^{2}}}}"></div> The equation has the property that, if <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;"><i>u</i></span> and its first time derivative are arbitrarily specified initial data on the line <span class="texhtml"><i>t</i> = 0</span> (with sufficient smoothness properties), then there exists a solution for all time <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span>. 
<br/>(Wikipedia, The Free Encyclopedia, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_partial_differential_equation">https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_partial_differential_equation</a>)"""@en ;
  skos:prefLabel "équation aux dérivées partielles hyperbolique"@fr, "hyperbolic partial differential equation"@en ;
  skos:exactMatch <https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_partial_differential_equation>, <https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles_hyperbolique> ;
  skos:broader psr:-LM732D0H-P ;
  a skos:Concept .

psr:-LM732D0H-P
  skos:prefLabel "équation aux dérivées partielles"@fr, "partial differential equation"@en ;
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  skos:narrower psr:-X5TMB3CP-Q .