@prefix psr: <http://data.loterre.fr/ark:/67375/PSR> .
@prefix skos: <http://www.w3.org/2004/02/skos/core#> .
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@prefix xsd: <http://www.w3.org/2001/XMLSchema#> .

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  skos:prefLabel "nombre polygonal"@fr, "polygonal number"@en ;
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psr:-TTJRH5JV-B
  dc:modified "2024-10-18"^^xsd:date ;
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  skos:definition """En arithmétique, un <b>nombre triangulaire</b> est un cas particulier de nombre polygonal. Il correspond à un entier naturel non nul égal au nombre de pastilles dans un triangle construit à la manière des deux figures de droite. La seconde montre que le septième nombre triangulaire — celui dont le côté porte 7 pastilles — est 28. Une définition plus formelle de cette suite d'entiers s'obtient par récurrence : le premier nombre triangulaire est 1, et le <i>n</i>-ième est la somme de <i>n</i> et du précédent. Les dix premiers nombres triangulaires sont : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 (suite A000217 de l'OEIS). Il existe différentes manières de calculer le <i>n</i>-ième nombre triangulaire ; l'une d'elles est graphique et s'obtient par un raisonnement d'arithmétique géométrique. On trouve, si <i>t<sub>n</sub></i> désigne le <i>n</i>-ième nombre triangulaire :  <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\\\\displaystyle \\orall n\\\\in \\\\mathbb {N} ^{*}\\\\quad t_{n}={\\rac {n(n+1)}{2}}={n+1 \\\\choose 2},}">   <semantics>     <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">       <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">         <mi mathvariant="normal">∀<!-- ∀ --></mi>         <mi>n</mi>         <mo>∈<!-- ∈ --></mo>         <msup>           <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">             <mi mathvariant="double-struck">N</mi>           </mrow>           <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">             <mo>∗<!-- ∗ --></mo>           </mrow>         </msup>         <mspace width="1em"></mspace>         <msub>           <mi>t</mi>           <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">             <mi>n</mi>           </mrow>         </msub>         <mo>=</mo>         <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">           <mfrac>             <mrow>               <mi>n</mi>               <mo stretchy="false">(</mo>               <mi>n</mi>               <mo>+</mo>               <mn>1</mn>               <mo stretchy="false">)</mo>             </mrow>             <mn>2</mn>           </mfrac>         </mrow>         <mo>=</mo>         <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">           <mrow>             <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN">               <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo>             </mrow>             <mfrac linethickness="0">               <mrow>                 <mi>n</mi>                 <mo>+</mo>                 <mn>1</mn>               </mrow>               <mn>2</mn>             </mfrac>             <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE">               <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo>             </mrow>           </mrow>         </mrow>         <mo>,</mo>       </mstyle>     </mrow>     <annotation encoding="application/x-tex">{\\\\displaystyle \\orall n\\\\in \\\\mathbb {N} ^{*}\\\\quad t_{n}={\\rac {n(n+1)}{2}}={n+1 \\\\choose 2},}</annotation>   </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a038664ae087a73d963aeb6674c21bbc99548e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.741ex; height:6.343ex;" alt="{\\\\displaystyle \\orall n\\\\in \\\\mathbb {N} ^{*}\\\\quad t_{n}={\\rac {n(n+1)}{2}}={n+1 \\\\choose 2},}"></span></center> où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\\\\displaystyle {i \\\\choose j}}">   <semantics>     <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">       <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">         <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">           <mrow>             <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN">               <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo>             </mrow>             <mfrac linethickness="0">               <mi>i</mi>               <mi>j</mi>             </mfrac>             <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE">               <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo>             </mrow>           </mrow>         </mrow>       </mstyle>     </mrow>     <annotation encoding="application/x-tex">{\\\\displaystyle {i \\\\choose j}}</annotation>   </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ef7f9960c387940455f1485491ae81a94526f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:4.379ex; height:6.176ex;" alt="{\\\\displaystyle {i \\\\choose j}}"></span> est le symbole du coefficient binomial. Les nombres triangulaires sont donc ceux de la troisième colonne du triangle de Pascal. Cette formule est ancienne — on la doit à l'école de Pythagore — et probablement connue depuis le début du <abbr class="abbr" title="5ᵉ siècle"><span class="romain">V</span><sup style="font-size:72%">e</abbr> siècle <abbr class="abbr nowrap" title="avant Jésus-Christ">av. J.-C.</abbr> Elle est citée par Alcuin au <abbr class="abbr" title="9ᵉ siècle"><span class="romain">IX</span><sup style="font-size:72%">e</abbr> siècle dans un recueil de récréations mathématiques 
<br/>(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_triangulaire">https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_triangulaire</a>)"""@fr, """A triangular number or triangle number counts objects arranged in an equilateral triangle. Triangular numbers are a type of figurate number, other examples being square numbers and cube numbers. The nth triangular number is the number of dots in the triangular arrangement with n dots on each side, and is equal to the sum of the n natural numbers from 1 to n. The sequence of triangular numbers, starting with the 0th triangular number, is
<br/>   0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300,
<br/>   325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666…
<br/>(sequence A000217 in the OEIS) 
<br/>(Wikipedia, The Free Encyclopedia, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number">https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number</a>)"""@en ;
  skos:prefLabel "nombre triangulaire"@fr, "triangular number"@en ;
  skos:exactMatch <https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number>, <https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_triangulaire> ;
  skos:broader psr:-X7NSSF7W-1 ;
  skos:altLabel "triangle number"@en ;
  skos:inScheme psr: .