@prefix psr: <http://data.loterre.fr/ark:/67375/PSR> .
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  skos:exactMatch <https://en.wikipedia.org/wiki/Fenchel%E2%80%93Moreau_theorem>, <https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fenchel-Moreau> ;
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  skos:altLabel "Fenchel biconjugation theorem"@en, "biconjugation theorem"@en, "théorème de biconjugation"@fr, "théorème de biconjugation de Fenchel"@fr ;
  skos:definition """In convex analysis, the <b>Fenchel–Moreau theorem</b> (named after Werner Fenchel and Jean Jacques Moreau) or <b>Fenchel biconjugation theorem</b> (or just <b>biconjugation theorem</b>) is a theorem which gives necessary and sufficient conditions for a function to be equal to its biconjugate.  This is in contrast to the general property that for any function <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\\\\displaystyle f^{**}\\\\leq f}">   <semantics>     <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">       <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">         <msup>           <mi>f</mi>           <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">             <mo>∗<!-- ∗ --></mo>             <mo>∗<!-- ∗ --></mo>           </mrow>         </msup>         <mo>≤<!-- ≤ --></mo>         <mi>f</mi>       </mstyle>     </mrow>     <annotation encoding="application/x-tex">{\\\\displaystyle f^{**}\\\\leq f}</annotation>   </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9abc63cc52e03934908aa5d890d833b22fb87fc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.574ex; height:2.676ex;" alt="{\\\\displaystyle f^{**}\\\\leq f}"></span>.  This can be seen as a generalization of the bipolar theorem.  It is used in duality theory to prove strong duality (via the perturbation function).  
<br/>(Wikipedia, The Free Encyclopedia, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fenchel%E2%80%93Moreau_theorem">https://en.wikipedia.org/wiki/Fenchel%E2%80%93Moreau_theorem</a>)"""@en, """En analyse convexe, le théorème de Fenchel–Moreau (nommé d'après Werner Fenchel et Jean-Jacques Moreau) ou théorème de biconjugation de Fenchel (ou juste théorème de biconjugation) est un théorème qui donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction soit égale à sa biconjuguée. Ce résultat est à mettre en contraste avec l’inégalité v. Ce théorème peut être vu comme une généralisation du théorème bipolaire. Il est utilisé pour prouver la dualité forte (à l'aide de fonction de perturbation). 
<br/>(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fenchel-Moreau">https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fenchel-Moreau</a>)"""@fr ;
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