@prefix psr: . @prefix skos: . @prefix dc: . @prefix xsd: . psr:-NM1F1MRK-M skos:prefLabel "modular arithmetic"@en, "arithmétique modulaire"@fr ; a skos:Concept ; skos:narrower psr:-R4QCJJXC-1 . psr:-R4QCJJXC-1 dc:modified "2024-10-18"^^xsd:date ; skos:related psr:-LRPB5V08-Q ; skos:prefLabel "théorème des deux carrés de Fermat"@fr, "Fermat's theorem on sums of two squares"@en ; skos:broader psr:-NM1F1MRK-M, psr:-PJSZQ3B9-1, psr:-TT0V0XBL-P, psr:-C7ZLH8LZ-5 ; skos:inScheme psr: ; skos:definition """En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. Par exemple, selon ce théorème, un nombre premier impair (c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique. On peut le vérifier sur 17 (= 4 × 4 + 1) ou 97 (= 24 × 4 + 1), qui sont bien tous deux d’une seule façon une somme de deux carrés (17 = 1² + 4² et 97 = 9² + 4²), alors que des nombres premiers comme 7 (= 4 × 1 + 3) ou 31 (= 4 × 7 + 3) ne sont pas des sommes de deux carrés. Ce résultat est parfois nommé simplement théorème des deux carrés ou bien encore théorème de Fermat de Noël.
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_deux_carr%C3%A9s_de_Fermat)"""@fr, """In additive number theory, Fermat's theorem on sums of two squares states that an odd prime p can be expressed as:

{\\\\displaystyle p=x^{2}+y^{2},}

with x and y integers, if and only if

{\\\\displaystyle p\\\\equiv 1{\\\\pmod {4}}.}

The prime numbers for which this is true are called Pythagorean primes. For example, the primes 5, 13, 17, 29, 37 and 41 are all congruent to 1 modulo 4, and they can be expressed as sums of two squares in the following ways:

{\\\\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\\\\quad 13=2^{2}+3^{2},\\\\quad 17=1^{2}+4^{2},\\\\quad 29=2^{2}+5^{2},\\\\quad 37=1^{2}+6^{2},\\\\quad 41=4^{2}+5^{2}.}

On the other hand, the primes 3, 7, 11, 19, 23 and 31 are all congruent to 3 modulo 4, and none of them can be expressed as the sum of two squares. This is the easier part of the theorem, and follows immediately from the observation that all squares are congruent to 0 or 1 modulo 4.
(Wikipedia, The Free Encyclopedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares)"""@en ; dc:created "2023-08-28"^^xsd:date ; skos:exactMatch , ; a skos:Concept . psr:-TT0V0XBL-P skos:prefLabel "entier quadratique"@fr, "quadratic integer"@en ; a skos:Concept ; skos:narrower psr:-R4QCJJXC-1 . psr:-C7ZLH8LZ-5 skos:prefLabel "théorie additive des nombres"@fr, "additive number theory"@en ; a skos:Concept ; skos:narrower psr:-R4QCJJXC-1 . psr: a skos:ConceptScheme . psr:-LRPB5V08-Q skos:prefLabel "square number"@en, "nombre carré"@fr ; a skos:Concept ; skos:related psr:-R4QCJJXC-1 . psr:-PJSZQ3B9-1 skos:prefLabel "Diophantine equation"@en, "équation diophantienne"@fr ; a skos:Concept ; skos:narrower psr:-R4QCJJXC-1 .