@prefix psr: . @prefix skos: . @prefix dc: . @prefix xsd: . psr:-VHDD6KJX-8 skos:prefLabel "analytic number theory"@en, "théorie analytique des nombres"@fr ; a skos:Concept ; skos:narrower psr:-HHBS82VH-H . psr: a skos:ConceptScheme . psr:-HHBS82VH-H skos:definition """En mathématiques, le théorème de Brauer-Siegel, du nom de Richard Brauer et Carl Ludwig Siegel, est un résultat asymptotique sur le comportement des corps de nombres, obtenu par Richard Brauer et Carl Ludwig Siegel. Il tente de généraliser les résultats connus sur les nombres de classes des corps quadratiques imaginaires, à une suite plus générale de corps de nombres

{\\\\displaystyle K_{1},K_{2},\\\\ldots .}

Dans tous les cas autres que le corps Q des rationnels et les corps quadratiques imaginaires, le régulateur R_i de K_i doit être pris en compte, car K_i a alors des unités d'ordre infini par le théorème des unités de Dirichlet. L'hypothèse quantitative du théorème de Brauer-Siegel standard est que si D_i est le discriminant de K_i, alors

{\\\\displaystyle {\\ rac {[K_{i}:\\\\mathbf {Q} ]}{\\\\log |D_{i}|}}\\ o 0{\\ ext{ quand }}i\\ o \\\\infty .}

En supposant de plus que K_i est une extension galoisienne de Q, la conclusion est que

{\\\\displaystyle {\\ rac {\\\\log(h_{i}R_{i})}{\\\\log {\\\\sqrt {|D_{i}|}}}}\\ o 1{\\ ext{ quand }}i\\ o \\\\infty }

où h_i est le nombre de classes de K_i. Si l'on suppose que tous les degrés

{\\\\displaystyle [K_{i}:\\\\mathbf {Q} ]}

sont majorés par une même constante N, alors on peut se passer de l'hypothèse de normalité — c'est ce qui est en fait prouvé dans l'article de Brauer.
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Brauer-Siegel)"""@fr, """In mathematics, the Brauer–Siegel theorem, named after Richard Brauer and Carl Ludwig Siegel, is an asymptotic result on the behaviour of algebraic number fields, obtained by Richard Brauer and Carl Ludwig Siegel. It attempts to generalise the results known on the class numbers of imaginary quadratic fields, to a more general sequence of number fields

{\\\\displaystyle K_{1},K_{2},\\\\ldots .\\\\ }

In all cases other than the rational field Q and imaginary quadratic fields, the regulator R_i of K_i must be taken into account, because K_i then has units of infinite order by Dirichlet's unit theorem. The quantitative hypothesis of the standard Brauer–Siegel theorem is that if D_i is the discriminant of K_i, then

{\\\\displaystyle {\\ rac {[K_{i}:\\\\mathbf {Q} ]}{\\\\log |D_{i}|}}\\ o 0{\\ ext{ as }}i\\ o \\\\infty .}

Assuming that, and the algebraic hypothesis that K_i is a Galois extension of Q, the conclusion is that

{\\\\displaystyle {\\ rac {\\\\log(h_{i}R_{i})}{\\\\log {\\\\sqrt {|D_{i}|}}}}\\ o 1{\\ ext{ as }}i\\ o \\\\infty }

where h_i is the class number of K_i. If one assumes that all the degrees

{\\\\displaystyle [K_{i}:\\\\mathbf {Q} ]}

are bounded above by a uniform constant N, then one may drop the assumption of normality - this is what is actually proved in Brauer's paper.
(Wikipedia, The Free Encyclopedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Brauer%E2%80%93Siegel_theorem)"""@en ; skos:prefLabel "Brauer-Siegel theorem"@en, "théorème de Brauer-Siegel"@fr ; skos:inScheme psr: ; skos:broader psr:-VHDD6KJX-8 ; skos:exactMatch , ; dc:created "2023-08-17"^^xsd:date ; dc:modified "2024-10-18"^^xsd:date ; a skos:Concept .