@prefix psr: . @prefix skos: . @prefix dc: . @prefix xsd: . psr:-JR0BZJDR-C skos:prefLabel "square matrix"@en, "matrice carrée"@fr ; a skos:Concept ; skos:narrower psr:-CTNM46CQ-V . psr: a skos:ConceptScheme . psr:-MGX5TS98-7 skos:prefLabel "Schur-Horn theorem"@en, "théorème de Schur-Horn"@fr ; a skos:Concept ; skos:broader psr:-CTNM46CQ-V . psr:-CTNM46CQ-V skos:altLabel "self-adjoint matrix"@en, "matrice auto-adjointe"@fr ; skos:narrower psr:-MGX5TS98-7 ; skos:exactMatch , ; skos:prefLabel "Hermitian matrix"@en, "matrice hermitienne"@fr ; skos:inScheme psr: ; skos:definition """Dans une base orthonormale, notons A la matrice d'un endomorphisme u et notons :

{\\\\displaystyle A^{*}=({\\ar {A}})^{\\\\mathsf {T}}}

la matrice transconjuguée (la matrice transposée de la matrice conjuguée, ou matrice adjointe) de A. Il y a équivalence entre :

u est un opérateur hermitien
Pour tous vecteurs colonnes x et y de taille n, le nombre x*A*y est égal à x*Ay.
Pour tout vecteur colonne x, le nombre x*Ax est réel (d'après la caractérisation des formes hermitiennes).
A = A*. On dit dans ce cas que la matrice est hermitienne (ou auto-adjointe).

Les éléments d'une matrice hermitienne (ou auto-adjointe) vérifient donc :

{\\\\displaystyle (a_{i,j})=({\\\\overline {a_{j,i}}})}

. Toute matrice hermitienne A est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage unitaire, ses valeurs propres sont réelles et ses sous-espaces propres sont deux à deux orthogonaux. Autrement dit, il existe une matrice unitaire U (dont les colonnes sont les vecteurs propres de A), et une matrice diagonale D (dont les coefficients sont précisément les valeurs propres de A), telles que :

{\\\\displaystyle A=UDU^{*}}

(C'est un cas particulier du théorème de décomposition de Schur.)
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Hermitien#Op%C3%A9rateur_hermitien_et_matrice_hermitienne)"""@fr, """In mathematics, a Hermitian matrix (or self-adjoint matrix) is a complex square matrix that is equal to its own conjugate transpose—that is, the element in the

i

-th row and

j

-th column is equal to the complex conjugate of the element in the

j

-th row and

i

-th column, for all indices

i

and

j

{\\\\displaystyle A{\\ ext{ Hermitian}}\\\\quad \\\\iff \\\\quad a_{ij}={\\\\overline {{a}_{ji}}}}

or in matrix form:

{\\\\displaystyle A{\\ ext{ Hermitian}}\\\\quad \\\\iff \\\\quad A={\\\\overline {A^{\\\\mathsf {T}}}}.}

Hermitian matrices can be understood as the complex extension of real symmetric matrices. If the conjugate transpose of a matrix

{\\\\displaystyle A}

is denoted by

{\\\\displaystyle A^{\\\\mathsf {H}},}

then the Hermitian property can be written concisely as

{\\\\displaystyle A{\\ ext{ Hermitian}}\\\\quad \\\\iff \\\\quad A=A^{\\\\mathsf {H}}}

Hermitian matrices are named after Charles Hermite, who demonstrated in 1855 that matrices of this form share a property with real symmetric matrices of always having real eigenvalues. Other, equivalent notations in common use are

{\\\\displaystyle A^{\\\\mathsf {H}}=A^{\\\\dagger }=A^{\\\\ast },}

although in quantum mechanics,

{\\\\displaystyle A^{\\\\ast }}

typically means the complex conjugate only, and not the conjugate transpose.
(Wikipedia, The Free Encyclopedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Hermitian_matrix)"""@en ; dc:modified "2024-10-18"^^xsd:date ; a skos:Concept ; skos:broader psr:-JR0BZJDR-C .