: Mathématiques: théorème des quatre carrés de Lagrange

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théorème des quatre carrés de Lagrange

Le théorème des quatre carrés de Lagrange, également connu sous le nom de conjecture de Bachet, s'énonce de la façon suivante : Tout entier positif peut s'exprimer comme la somme de quatre carrés. Plus formellement, pour tout entier positif n, il existe des entiers a, b, c, d tels que : n = a² + b² + c² + d². Il correspond à une équation diophantienne qui se résout avec les techniques de l'arithmétique modulaire. La démonstration du théorème repose (en partie) sur l'identité des quatre carrés d'Euler :
${\\displaystyle {\egin{array}{rcl}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}+t_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}+t_{2}^{2})&=&(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}+t_{1}t_{2})^{2}\\\\&&\\quad +(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}+t_{1}z_{2}-z_{1}t_{2})^{2}\\\\&&\\quad \\quad +(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2}+y_{1}t_{2}-t_{1}y_{2})^{2}\\\\&&\\quad \\quad \\quad +(x_{1}t_{2}-t_{1}x_{2}+z_{1}y_{2}-y_{1}z_{2})^{2}.\\end{array}}}$

http://data.loterre.fr/ark:/67375/PSR-RD62G3Z9-J

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