: Mathématiques: produit scalaire

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Terme préférentiel

produit scalaire

En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. C'est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive. À deux vecteurs, elle associe un scalaire, c'est-à-dire un nombre tel que ceux qui définissent cet espace vectoriel — réel pour un espace vectoriel réel. Dans un espace vectoriel E sur le corps ℝ des nombres réels, le produit scalaire de ${\\displaystyle {\\overrightarrow {u}}}$ par ${\\displaystyle {\\overrightarrow {v}}}$ est le scalaire (l'élément de ℝ), noté ${\\displaystyle {\\overrightarrow {u}}\\cdot {\\overrightarrow {v}}}$ , ${\\displaystyle ({\\overrightarrow {u}}|{\\overrightarrow {v}})}$ , ${\\displaystyle \\langle {\\overrightarrow {u}}|{\\overrightarrow {v}}\ angle }$ , ou ${\\displaystyle \\langle {\\overrightarrow {u}},{\\overrightarrow {v}}\ angle }$ . Le produit scalaire est donné par : ${\\displaystyle {\\overrightarrow {u}}\\cdot {\\overrightarrow {v}}=||{\\overrightarrow {u}}||\ imes ||{\\overrightarrow {v}}||\ imes \\cos({\\widehat {{\\overrightarrow {u}},{\\overrightarrow {v}}}})}$ , c'est-à-dire le produit des normes des vecteurs ${\\displaystyle {\\overrightarrow {u}}}$ et ${\\displaystyle {\\overrightarrow {v}}}$ par le cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs. Le produit scalaire permet d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne traditionnelle : longueurs, angles, orthogonalité en dimension deux et trois, mais aussi de les étendre à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et (avec certaines modifications dans la définition) aux espaces vectoriels complexes.
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire)