: Mathématiques: noyau de Dirichlet

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noyau de Dirichlet

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le n-ième noyau de Dirichlet — nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Johann Dirichlet — est le polynôme trigonométrique défini par : ${\\displaystyle D_{n}(x)=\\sum _{k=-n}^{n}\\mathrm {e} ^{\\mathrm {i} kx}=1+2\\sum _{k=1}^{n}\\cos(kx)}$ . C'est donc une fonction 2π-périodique de classe ${\\displaystyle {\\mathcal {C}}^{\\infty }}$ ${\\displaystyle {\\mathcal {C}}^{\\infty }}$ . Elle vérifie de plus :
- si $x$ n'est pas un multiple entier de $2π$ , alors ${\\displaystyle D_{n}(x)={\ rac {\\sin \\left(\\left(n+{\ rac {1}{2}}\ ight)x\ ight)}{\\sin \\left({\ rac {x}{2}}\ ight)}}}$ ;
- si $x$ est un multiple entier de $2π$ , alors ${\\displaystyle D_{n}(x)=2n+1}$ .
Le noyau de Dirichlet permet notamment d'améliorer la convergence des séries de Fourier. Il intervient aussi en optique, pour rendre compte des franges et des compositions d'ondes cohérentes.
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Noyau_de_Dirichlet)