: Mathématiques: nombre de Liouville

nombre > constante mathématique > nombre de Liouville

nombre > nombre transcendant > nombre de Liouville

nombre > nombre irrationnel > nombre de Liouville

nombre > nombre réel > approximation diophantienne > nombre de Liouville

nombre de Liouville

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel ${\\displaystyle x}$ ayant la propriété suivante :
pour tout entier naturel ${\\displaystyle n}$ , il existe des entiers ${\\displaystyle q_{n}\\geqslant 2}$ et ${\\displaystyle p_{n}\\geqslant 1}$ tels que ${\\displaystyle 0<\\left\\vert x-{\ rac {p_{n}}{q_{n}}}\ ight\\vert <{\ rac {1}{(q_{n})^{n}}}}$ ,
ou, ce qui est équivalent :
pour tout entier naturel ${\\displaystyle n}$ et tout réel ${\\displaystyle A>0}$ , il existe des entiers ${\\displaystyle q\\geqslant 2}$ et ${\\displaystyle p\\geqslant 1}$ tels que ${\\displaystyle 0<\\left\\vert x-{\ rac {p}{q}}\ ight\\vert <{\ rac {A}{q^{n}}}}$ . Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra qu'il existe des nombres vérifiant la seconde propriété et que tous sont transcendants , établissant ainsi pour la première fois l'existence de nombres transcendants.
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Liouville)