: Mathématiques: nombre eulérien

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nombre eulérien

En mathématiques, et plus précisément en analyse combinatoire, le nombre eulérien $A$ ( $n, k$ ), est le nombre de permutations des entiers de 1 à $n$ pour lesquelles exactement $k$ éléments sont plus grands que l'élément précédent (permutations avec $k$ « montées » ( ${\\displaystyle 0\\leqslant k\\leqslant n-1}$ ),,. Les nombres eulériens sont les coefficients des polynômes eulériens :
${\\displaystyle A_{n}(X)=\\sum _{k=0}^{n}A(n,k)\\ X^{k}\\quad (A_{0}(X)=A_{1}(X)=1,A_{2}(X)=1+X,A_{3}(X)=1+4X+X^{2},\\dots )}$ .
Ces polynômes apparaissent au numérateur d'expressions liées à la fonction génératrice de la suite ${\ extstyle 1^{n},\\ 2^{n},\\ 3^{n},\\ \\dots }$ . Ces nombres forment la suite A008292 de l'OEIS. Les nombres $A (n, k)$ sont aussi notés $E (n, k)$ et ${\\displaystyle \\left\\langle {n \\atop k}\ ight\ angle .}$