: Mathematics: hyperopération

nombre > arithmétique élémentaire > opération > opération arithmétique > hyperopération

algèbre > algèbre élémentaire > opération > opération arithmétique > hyperopération

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hyperopération

En mathématiques, les hyperopérations (ou hyperopérateurs) constituent une suite infinie d'opérations qui prolonge logiquement la suite des opérations arithmétiques élémentaires suivantes :
1. addition (n = 1) :
  ${\\displaystyle {{H_{1}(a,b)=a+b} \\atop \\,}{= \\atop \\,}{a\\,+ \\atop \\,}{{\\underbrace {1+1+\\cdots +1} } \\atop b{\ ext{ termes}}}}$
2. multiplication (n = 2) :
  ${\\displaystyle {{H_{2}(a,b)=a\ imes b=\\ } \\atop {\\ }}{{\\underbrace {a+a+\\cdots +a} } \\atop b{\ ext{ termes}}}}$
3. exponentiation (n = 3) :
  ${\\displaystyle {{H_{3}(a,b)=a^{b}=\\ } \\atop {\\ }}{{\\underbrace {a\ imes a\ imes \\cdots \ imes a} } \\atop b{\ ext{ facteurs}}}}$
Reuben Goodstein
proposa de baptiser les opérations au-delà de l'exponentiation en utilisant des préfixes grecs : tétration (n = 4), pentation (n = 5), hexation (n = 6), etc. L'hyperopération à l'ordre n peut se noter à l'aide d'une flèche de Knuth au rang n – 2. ${\\displaystyle H_{n}(a,b)=a\\uparrow ^{n-2}b}$ ${\\displaystyle H_{n}(a,b)=a\\uparrow ^{n-2}b}$ . La flêche de Knuth au rang m est définie récursivement par : ${\\displaystyle a\\uparrow ^{-1}b=a+b\\,}$ ${\\displaystyle a\\uparrow ^{-1}b=a+b\\,}$ et ${\\displaystyle a\\uparrow ^{m}b=\\underbrace {a\\uparrow ^{m-1}\\left(a\\uparrow ^{m-1}\\left[a\\uparrow ^{m-1}\\left(\\ldots \\left[a\\uparrow ^{m-1}\\left(a\\uparrow ^{m-1}a\ ight)\ ight]\\ldots \ ight)\ ight]\ ight)} _{\\displaystyle b{\\mbox{ copies de }}a},\\quad m\\geq 0}$ ${\\displaystyle a\\uparrow ^{m}b=\\underbrace {a\\uparrow ^{m-1}\\left(a\\uparrow ^{m-1}\\left[a\\uparrow ^{m-1}\\left(\\ldots \\left[a\\uparrow ^{m-1}\\left(a\\uparrow ^{m-1}a\ ight)\ ight]\\ldots \ ight)\ ight]\ ight)} _{\\displaystyle b{\\mbox{ copies de }}a},\\quad m\\geq 0}$ Elle peut aussi se définir à l'aide de la règle : ${\\displaystyle a\\uparrow ^{m}b=a\\uparrow ^{m-1}\\left(a\\uparrow ^{m}(b-1)\ ight)}$ ${\\displaystyle a\\uparrow ^{m}b=a\\uparrow ^{m-1}\\left(a\\uparrow ^{m}(b-1)\ ight)}$ . Chacune croît plus vite que la précédente. Des suites similaires ont historiquement porté diverses appellations, telles que la fonction d'Ackermann (à 3 arguments), la hiérarchie d'Ackermann, la hiérarchie de Grzegorczyk (plus générale), la version de Goodstein de la fonction d'Ackermann, hyper-n.
(Wikipedia, L'Encylopédie Libre, https://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperop%C3%A9ration)